浅谈二元函数连续、偏导数与可微之间的关系
24山 东 英 才 学 院 学 报浅谈二元函数连续、偏导数与可微之间的关系张晓梅（山东英才学院 基础部，山东 济南 250104）摘要：本文结合三个例题验证多元函数在一点处连续、偏导数存在与可微之间的关系:偏导数存在且连续→可微→函数连续和偏导数存在。
关键词：多元函数； 连续 ；可微； 偏导数0 引言高等数学是理工类和经济类学科的公共基础课。
微分学则是高等数学里面的一个基本内容，同时也是一个重点内容。
函数在一点处连续、偏导数与可微之间的关系是微分学的一个基本问题。
这个问题的相关结论在高等数学教材中已经有了详细解答。
但是对专科院校的学员来说，理论分析是一个难点。
结论大家都能叙述，但是遇到实际问题却不会利用所学知识进行分析。
特别是对多元函数在一点处可微、偏导数和连续的关系的分析，这是高等数学中的一个难点。
下面我们结合几个例题，对多元函数在一点处连续、偏导数与可微的关系展开讨论，给出解决问题的方法。
1 多元函数在一点处连续、偏导数与可微之间的关系由高等数学教材可知，多元函数（以二元函数为例）在一点处连续、偏导数与可微之间有如下关系： ⅰ多元函数在一点处偏导数存在未必连续； ⅱ多元函数在一点处连续和偏导数存在是函数在该点处可微的必要不充分条件； ⅲ多元函数在一点处偏导数存在且连续是函数在该点处可微的充分不必要条件。
2 例题分析我们知道一元函数在一点处连续未必可导，但可导必连续。
对比上面结论，可以发现一元函数和多元函数在此问题上有很大的不同。
事实上，对多元函数来说，函数在一点处偏导数存在和函数在该点处连续是没有必然联系的。
下面通过两个例子说明这个问题。
例1讨论函数2 2 , g x y x y = + 在点（0,0）处的连续性和偏导数是否存在？解:由 , 0,0lim , 0 0,0x yg x y g→= = ，可知函数在（0,0）点处连续。
而20 0 0 0 ,0 0,0 | |lim lim limx x xx g x g xx x x∆ → ∆ → ∆ →∆ +∆ − ∆= =∆ ∆ ∆该极限不存在，所以函数在（0,0）点偏导数不存在。
由此说明，多元函数在一点连续，偏导数未必存在。
例2 讨论函数2 22 22 2, 0 , 0, 0xyx yx y x yx yϕ⎧+ ≠⎪+ = ⎨⎪+ =⎩ 在（0,0）点处的连续性和偏导数是否存在？收稿日期：2011-07-05作者简介：张晓梅（1980-）,女，硕士，山东英才学院基础部讲师。
山东英才学院学报JOURNAL OF SHANDONG YINGCAI UNIVERSITY第 7 卷 第 3 期2011年9月Vol.7 No.3Sep. 2011
